Огни большого города Личный блог Александра Каратаева 
Можно верить и не верить во многие вещи, но относительно простейшей арифметики и таблицы умножения каждый из нас скорее всего ответит: «Верую!».
Однако всегда есть «неудобные» вопросы, которые могут подорвать сами устои любой веры. И вот один из таких вопросов относительно арифметики я вам сейчас и задам.
Вы уверены в непогрешимости таблицы умножения? Не спешите с ответом. И если вы готовы пошатнуть свои представления о простейшей арифметике, то вам сюда...
Парадокс таблицы умножения
Помните, как мы зубрили таблицу умножения? 2 * 2 = 4... 3 * 3 = 9... 8 * 8 = 64... Мы настолько твёрдо заучили все эти комбинации, что даже сомнения не возникает в их правильности... Да и кому в голову придёт проверять? А оказывается - не всё так просто и однозначно. Сейчас я вам это продемонстрирую.
Давайте, например, возьмём вот такое равенство: 8 * 8 = 64.
Вот не читая дальше, признайтесь, что даже тени сомнения нет в том, что ответ однозначен и другого быть не может! Уверены? Ну тогда поехали дальше...
А дальше я берусь доказать, что 8 * 8 = 65!
Берём чистый лист в клеточку, как в школьной тетради...
Каждая клеточка равна 5 мм, а две, соответственно равны 1 см. Это нам нужно для дальнейших расчётов. Рисуем квадрат 8 на 8 сантиметров.
Квадрат, можно вычерчивать, отмеряя стороны линейкой, можно по клеточкам - разницы нет. Главное - 8 на 8 сантиметров.
Вспоминаем формулу площади квадрата... Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. S = a2. В нашем случае 8 * 8 = 64.
Пока всё вроде бы нормально, всё как учили в школе... Но давайте этот-же квадрат разделим на несколько фигур.
Вот таким образом. Размеры сторон фигур легко высчитать по клеточкам. А мы давайте для удобства эти фигуры пронумеруем...
Вооружитесь ножницами и вырежьте эти фигуры. Вырезали? А теперь давайте сложим из них вот такой равнобедренный треугольник:
По номерам видно какая фигура квадрата какое место заняла в треугольнике. Если вы не поленились нарисовать всё это на листе в клеточку и разрезать по фигурам, то можете выложить такой треугольник прямо на столе.
Другими словами, площадь этого треугольника тоже можно выразить формулой S = 8 * 8... И предположить, что она равна 64 см2. Логично? Но давайте-ка посмотрим:
Площадь равнобедренного треугольника равна произведению основания на высоту, делённому на два. S = a * h / 2 В нашем случае S = 10 * 13 / 2 = 65.
Но ведь суммарную площадь этих-же фигур мы ранее вычисляли по формуле 8 * 8... И это не подлежало сомнению!
И получается, что 8 * 8 = 65! Интересно, что вы скажете теперь? Кто-нибудь из вас сможет объяснить в чём тут дело?
Жду ваших предположений в комментариях, но только просьба не писать, что, мол, я не силён (не сильна) в математике - уж что-что, а таблицу умножения учили все и расчёты тут элементарные, на уровне младших классов.
Однако это не единственный парадокс таблицы умножения, да и арифметики в целом.
Вот ещё один наглядный пример: 28 / 7 = 13!
Не верите? Убедитесь сами!
Такая вот арифметика...
P.S. Если никто не сможет объяснить этот парадокс, то позже я расскажу вам страшную арифметическую тайну.
Вы там держитесь... С уважением,
Александр, спасибо за нетривиальную задачку. Было интересно докопаться до сути. Арифметика не ошибается, а вот геометрическая иллюзия имеет место быть ) Утром подкину эту "головоломку" своим женщинам (жене и старшей дочке), пусть тоже помучаются ))
Браво, Константин! Отреагировал почти сразу и ответ в точку!
Для меня в танке, видео не помогло.
Части 3 и 4 по той же формуле площадь равнобедренного треугольника 24 см кв.
Части 2 и 1 по формуле равнобедренной трапеции 40 см кв. Их сумма 64 см. кв.
Роль клеточек в качестве аргумента расчётов непонятна.
Нет, Андрей, то, что ты высчитал площади фигур – это понятно, но парадокс с площадью треугольника никак не объяснил…
Роль клеточек? Да никакая. Просто для удобства рисования. Я же там везде размеры указал…
Насколько я понимаю, из этих вырезанных фигур такой аккуратный треугольник не получится. И из-за расстыковки сторон и набегает один лишний квадратик. Мне лень рисовать и резать, но я в этом уверена на 100% 🙂
А задачки с умножением и делением видела недавно в другом видео: там отличник занимался с отстающим и второй именно так производил математические действия.
Можно по клеточкам на картинках в статье прикинуть. У треугольника сторона немного круче чем у трапеции.
Я уж думал вобще ничему верить нельзя. Но всё таки есть ещё непреложные истины
Ну… по клеточкам не уверен, а на самом деле так и есть…
Я так прикидывал:
Определяем "направление" стороны трапеции. На четыре клетки вправо она поднимается на десять клеток вверх.
Чтобы сторона треугольника и сторона трапеции состовляли одну прямую, "направление" стороны треугольника должно быть таким же.
Сторона треугольника на четыре клетки вправо поднимается вверх на 10,5 клеток. Получается она немного круче чем сторона трапеции и они не лежат на одной прямой.
Главное, что результат правильный, сама цепочка рассуждений тут не столь важна… Хотя каждое решение вызывает интерес своим подходом и реализацией…
Нина, абсолютно верно!
И тем не менее Вы правы. Именно в этом и кроется подвох…
Саня, привет! Что то подобное я слышал, но где не помню.
С треугольником прикольно. У меня если верить формулам, то вообще получается 60
Вот скрин http://prntscr.com/hf8fk7 или я что то попутал.
Ну-у-у…. Андрей… Ты считаешь не по той формуле. У тебя там площадь треугольника по стороне и основанию, а размер стороны не 13. Это высота (перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к основанию). Поэтому и ответ у тебя получился 60…
Моя формула по высоте и основанию…
Да, дружище, подзабыл ты школу…
Просто малой еще до этого не дошел, вот я и подзабыл. Но ничего, скоро вспомню
Интересно, но мне кажется, что это иллюзия, да и причем тут клеточки? )) Так можно любую аксиому переделать на свой лад и со своими логическими измышлениями.)
Ну так а в чём иллюзия-то? Клеточки тут присутствуют только для простоты рисования…
Вот так это выглядит в реальности.
Да, Андрей! Вот именно из-за этого и набегает лишний сантиметр. Браво!
Андрей, а что, теперь на двери переключился? Что-то зашёл и не узнал… Привычней были холодильники…
Есть у меня несколько сайтов по дверям с самого начала. Чистая коммерция.
Мечтаю почитать вашу статью о продвижении в Google. Яша и его сервисы заблокированы, а в Гугль пробиться – многие жалуются, в том числе и я.
Начал создавать адаптированные одностраничники. Один из них указал ниже. Применил аудио отзывы. Считаю это новинкой, которую трудно подделать. В общим, веду эксперимент – продвижение адаптированных одно страничников на HTML5 i CSS3 в Google.
Дык где-ж мне её взять-то? Крым брал, Казань брал… А статью про Google… нет, не знаю, не брал…
Аудиоотзывы у Вас уже увидел… Интересно какой будет эффект…
Саш, мне кажется, ты взял самую упрощённую формулу расчёта площади треугольника, где результат получается приближённым, т.е. – примерно. Вообще, в геометрии и в математике многое округляется в ту или иную сторону, взять хотя бы число "Пи" и эти пресловутые: "если" и "допустим" в доказании теоремы о том, что дважды два равно пять. А этот трюк с разрезанием квадрата и переворачиванием вырезанных частей при сложении треугольника довольно интересен и может сбить с толку любого.
Миша, привет!
Не понял, что значит "упрощённую формулу расчёта площади треугольника"? Формула стандартная, из учебника, правильная… Подвох крылся в другом. А трюк действительно сбивает с толку…
Это значит, что ты использовал простейшую из всех формул расчёта площади треугольника. Если треугольник будет иметь ту же высоту, что и сторона квадрата, а основание иметь длину двух сторон квадрата (квадрат разрезанный по диагонали), то эта формула выдаст ту же площадь, что и при расчёте квадратных метров.
Во вновь созданном треугольнике увеличена высота, а значит в силу вступают законы космоса! А у них там не всё как у людей.
Однажды учительница в школе на уроке сказала: "Две параллельные линии никогда не пересекутся, но только на земле. В космосе эти параллели обязательно пересекутся." Никаких доказательств она не привела, но я ей почему-то поверил.
А что в самом деле математический парадокс!
Не поленилась нарисовала и ножницами вырезала фигуры. Думаю, дело в том, что полученную фигуру нельзя назвать равнобедренным треугольником и потому формула S = a * h / 2 не приемлема . Это многоугольник с площадями фигур 12+12+20+20= 64. Головоломка хороша! Но всё же правильней назвать её парадокс даже иллюзорность) геометрии.
А ролик вообще анекдотичен))). Александр, что в армии все так считают: делят и умножают? 🙂 Теперь я знаю, почему наша армия – самая сильная в мире!!!
))
Пожалуй, ты единственная, кто это сделал.
И ты права, на самом-то деле равнобедренный треугольник не получается. Его стороны чуть-чуть вогнуты и таким образом рассчитывать его площадь по приведённой формуле неверно.
Насчёт армейских подсчётов… Мало кто догадывается, но большинство армейских анекдотов спровоцировано самой Армией. Там отлично умеют считать, но и посмеяться над собой тоже умеют. Я тебе столько баек могу рассказать, в том числе и из реальной армейской жизни. Правда некоторые из них будут понятны только тем, кто служил на офицерских должностях…
Кстати, очень схожий момент в моей службе тоже был. Только там считали не мы, а американские шпиёны пытались нашу технику на марше посчитать, а некоторые наши, в силу своей расхлябанности, и сами запутались и их сбили с толку да так, что те махнули рукой и уехали… Полк потом долго смеялся…
Единственная) Да, мне интересно было докопаться до сути, с толку сбили эти 13 и 10 см и идеальность треугольника. Долго думала 🙂 А ты мне кажется поспешил с ответом может ещё бы теории были)). какие-то интересные или смешные даже.
По поводу армии, я не служила), но жила в армейском городке и работала в войсковой части. Столько слышала и видела….мама дорогая))). Но твои бы истории с удовольствием послушала
Я и сам, когда впервые это дело увидел, долго голову ломал…
Вот как нибудь подопью и начну рассказывать…
Александр, ваша задача, заставила пошевилить мозгами. Что бы проверить на практике, пришлось начертить и вырезать полученную фигуру, но равнобедренным треугольником даже не пахнет.
Но согласитесь, что просто вот так, зрительно догадаться не легко. А реально проделать манипуляции с вырезанием фигур захотели далеко не все…
Мне задачка показалась просто любопытной…
Видео понравилось – анекдот. Ответы головоломки уже прочитала, поэтому и проверять не стала.
Валентина, зато можете при случае кого-нибудь из своих знакомых озадачить головоломкой…
Ну и задачки, Александр, вы задаете! Мне, как филологу, тут вообще три года сидеть, ничего не пойму всё равно. 🙂 Спасибо вашим читателям, пояснили немного суть. Но для меня, честно говоря, всё равно тема осталась загадкой, парадоксом. 😀
Я вообще-то больше люблю задачки на логику. А эту знал давно, запомнилась ещё с моей молодости и запомнилась именно своей кажущейся парадоксальностью. В какой-то момент посчитал, что вполне можно и на блог её выложить…
И правильно сделали, Александр, что выложили эту задачку! Вон как мозги потренировали читателям. 😉 🙂
О таком раскладе слышу и вижу впервые. Тоже задумалась, но прочитав комментарии и посмотрев чертеж треугольника, тоже увидела, что половинки основания не одинаковы, левая половинка чуть меньше, вот отсюда и набежал лишний см. Но интересно было узнать. Про танки особенно!
Про танки и мне понравилось… Хотя говорят, что эта какая-то переделка то ли с Ералаша, то ли с КВН… Но я впервые именно вот эту версию услышал…
Математику не любила и не люблю, считать просто ленюсь. Почитала некоторые ответы. Скорее, соглашусь, что это иллюзия. Потому как про неровный треугольник что-то мне не очень пнятно. Наверное, надо вырезать, чтобы это увидеть.
Мужу подброшу. Интересно, что скажет.
И что сказал?
Лично мне разгадка далась в своё время не так легко, как большинству здесь в комментариях… Я повозился…
Ох уж эта математика! Не зря я гуманитарий :))
Судя по оформлению и направленности веб-студии «Три Дабл Ю» – не только гуманитарий, но и замечательный веб-технарь… А тут без математики всё-же не обойтись…
Очень забавно и чему же тогда верить в этом мире!!!
Практически – ничему…
Площадь трапеции — полусумма оснований на высоту: (10 + 6) / 2 * 5 = 40
Площадь треугольника — половина основания на высоту: 8 * 6 / 2 = 24
Итого: 40 + 24 = 64
Вывод: большая фигура не треугольник, а пятиугольник.
Что самое забавное в простой математике, не нужно помнить формулы, достаточно 1 раз разобраться, и посредством элементарной логики сразу находится ответ. И как можно не любить математику? Она логична и последовательна. Это не стеклянный/оловянный/деревянный, которые либо знаешь, либо нет.
Сразу видно человека с математическим складом ума!
Все подобные задачи сводятся к тому, что подвох кроется в предложенном пути решения. Стоит взглянуть, как бы, со стороны и сразу всё становится на свои места…
Александр, да какой из меня «математический склад»
Помню в школе, учитель сразу выписывал номера заданий, которые будут решаться, и я с тремя парнягами соревновались парта на парту, кто быстрее решит. Позже, один уехал в деревню, два других стали интересоваться чем-то другим. Но уже тогда мне стало понятно, что нужно вникнуть в суть. Если помнишь правило перемножение «скобка на скобку», всегда можно сказать, чему равно (a – b) * (a + b) или a ² – b ² .
Вспомнилось, матушка история рассказывала. Одному мальчику помогала бабуля. Что интересно, образования у неё не было вообще, даже задачки просила внучка читать. Но после этого чуть ли не на пальцах раскладывала решение и объясняла своими словами. Что характерно, правильно.
Имхо, математика не формулы, это состояние мозга. Как с иностранным языком: пока не начнёшь на нём думать, не будешь понимать.
Ну так и я про это же…
Знаток таблицы умножения http://Aztekium.pl/Znatok
Это для тех, кто сомневается?
Я попробовал, долгое и нудное тестирование – всё отвечал правильно, потом, в какой-то момент после моего ответа, сервис вдруг показал не те цифры, что были в вопросе и заявил, что ответ неверен. Это прикол такой?
боковые стороны треугольника не прямые линии
Да, на самом деле это так.